fbpx
วิกิพีเดีย

เส้นรอบวง

เส้นรอบวง หมายถึงระยะทางหรือเส้นรอบวงโดยปกติจะหมายถึงรูปวงกลมหรือรูปวงรี เส้นรอบวงเป็นเส้นรอบรูปชนิดหนึ่ง

เส้นรอบวง = π × เส้นผ่านศูนย์กลาง

เส้นรอบวง c ของรูปวงกลม สามารถคำนวณได้จากเส้นผ่านศูนย์กลาง d โดยใช้สูตรต่อไปนี้

c = π d {\displaystyle c=\pi d\,\!}

หรือคำนวณจากรัศมี r ของรูปวงกลม

c = 2 π r {\displaystyle c=2\pi r\,\!}

เมื่อ π คืออัตราส่วนระหว่างเส้นรอบวงกับเส้นผ่านศูนย์กลาง ซึ่งมีค่าประมาณ 3.141 592 653 589 793...

สูตรการหาความยาวของเส้นรอบวง สามารถสร้างขึ้นโดยใช้ความรู้ทางแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ และไม่ใช้การอ้างถึงค่า π ดังที่จะแสดงต่อไปนี้

ครึ่งหนึ่งด้านบนของรูปวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด คือกราฟของฟังก์ชัน

f ( x ) = r 2 x 2 {\displaystyle f(x)={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}

ซึ่ง x สามารถมีค่าได้ตั้งแต่ −r ถึง +r เส้นรอบวงของรูปวงกลมทั้งหมดจึงสามารถแทนได้ด้วยผลรวมสองเท่าของความยาวของส่วนโค้งเล็กๆ ที่ประกอบกันเป็นครึ่งวงกลม ความยาวของส่วนโค้งเล็กๆ นั้นสามารถคำนวณได้โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส รูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากเป็น d x {\displaystyle dx} และ f ( x ) d x {\displaystyle f'(x)dx} เราจะได้ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากเป็น

( d x ) 2 + ( f ( x ) d x ) 2 = ( 1 + f ( x ) 2 ) d x {\displaystyle {\sqrt {(dx)^{2}+(f'(x)dx)^{2}}}=\left({\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\right)dx}

ดังนั้น ความยาวของเส้นรอบวงจึงคำนวณได้จาก

c = 2 r r 1 + f ( x ) 2 d x = 2 r r 1 + x 2 r 2 x 2 d x = 2 r r 1 1 x r 2 d x = 2 r 1 1 1 1 x 2 d x = 2 r [ arcsin ( 1 ) arcsin ( 1 ) ] = 2 r ( π 2 ( π 2 ) ) = 2 π r {\displaystyle {\begin{aligned}c&=2\int _{-r}^{r}{\sqrt {1+f'(x)^{2}}}dx=2\int _{-r}^{r}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{r^{2}-x^{2}}}}}dx=2\int _{-r}^{r}{\sqrt {\frac {1}{1-{\frac {x}{r}}^{2}}}}dx=2r\int _{-1}^{1}{\sqrt {\frac {1}{1-x^{2}}}}dx\\&=2r{\big [}\arcsin {(1)}-\arcsin {(-1)}{\big ]}=2r({\tfrac {\pi }{2}}-(-{\tfrac {\pi }{2}}))=2\pi r\end{aligned}}}

การคำนวณเส้นรอบวงของวงรี ซับซ้อนกว่าวงกลม และเป็นอนุกรมอนันต์ (infinite series) อาจประมาณได้จากสูตรของ รามานุจัน (นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดีย)

c π ( 3 ( a + b ) ( 3 a + b ) ( a + 3 b ) ) {\displaystyle c\approx \pi (3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}})}

เมื่อ a {\displaystyle a} และ b {\displaystyle b} คือ กึ่งแกนเอกและกึ่งแกนโท ตามลำดับ สองค่านี้มีความสัมพันธ์กันกับความเยื้องศูนย์กลางของวงรี ดังต่อไปนี้

b = a 1 e 2 {\displaystyle b=a{\sqrt {1-e^{2}}}}

ซึ่งแสดงว่าสามารถเขียนสูตรคำนวณเส้นรอบวงของวงรีได้ดังนี้

c π a ( 3 ( 1 + 1 e 2 ) ( 3 + 1 e 2 ) ( 1 + 3 1 e 2 ) ) = π a ( 3 ( 1 + 1 e 2 ) 3 ( 2 e 2 ) + 10 1 e 2 ) {\displaystyle c\approx \pi a(3(1+{\sqrt {1-e^{2}}})-{\sqrt {(3+{\sqrt {1-e^{2}}})(1+3{\sqrt {1-e^{2}}})}})=\pi a(3(1+{\sqrt {1-e^{2}}})-{\sqrt {3(2-e^{2})+10{\sqrt {1-e^{2}}}}})}

บทความเกี่ยวกับเรขาคณิตนี้ยังเป็นโครง คุณสามารถช่วยวิกิพีเดียได้โดยเพิ่มข้อมูล ดูเพิ่มที่ สถานีย่อย:คณิตศาสตร์

เส้นรอบวง
เส, นรอบวง, ภาษาอ, เฝ, าด, แก, ไข, หมายถ, งระยะทางหร, อโดยปกต, จะหมายถ, งร, ปวงกลมหร, อร, ปวงร, เป, นเส, นรอบร, ปชน, ดหน, เส, นผ, านศ, นย, กลางร, ปวงกลม, แก, ไข, ของร, ปวงกลม, สามารถคำนวณได, จากเส, นผ, านศ, นย, กลาง, โดยใช, ตรต, อไปน, displaystyle, หร, อคำนวณจ. esnrxbwng phasaxun efadu aekikh esnrxbwng hmaythungrayathanghruxesnrxbwngodypkticahmaythungrupwngklmhruxrupwngri esnrxbwngepnesnrxbrupchnidhnungesnrxbwng p esnphansunyklangrupwngklm aekikhesnrxbwng c khxngrupwngklm samarthkhanwnidcakesnphansunyklang d odyichsutrtxipni c p d displaystyle c pi d dd hruxkhanwncakrsmi r khxngrupwngklm c 2 p r displaystyle c 2 pi r dd emux p khuxxtraswnrahwangesnrxbwngkbesnphansunyklang sungmikhapraman 3 141 592 653 589 793 sutrkarhakhwamyawkhxngesnrxbwng samarthsrangkhunodyichkhwamruthangaekhlkhulsechingpriphnth aelaimichkarxangthungkha p dngthicaaesdngtxipni khrunghnungdanbnkhxngrupwngklmthimicudsunyklangxyuthicudkaenid khuxkrafkhxngfngkchn f x r 2 x 2 displaystyle f x sqrt r 2 x 2 dd sung x samarthmikhaidtngaet r thung r esnrxbwngkhxngrupwngklmthnghmdcungsamarthaethniddwyphlrwmsxngethakhxngkhwamyawkhxngswnokhngelk thiprakxbknepnkhrungwngklm khwamyawkhxngswnokhngelk nnsamarthkhanwnidodyichthvsdibthphithaokrs rupsamehliymmumchakthimidanprakxbmumchakepn d x displaystyle dx aela f x d x displaystyle f x dx eracaidkhwamyawkhxngdantrngkhammumchakepn d x 2 f x d x 2 1 f x 2 d x displaystyle sqrt dx 2 f x dx 2 left sqrt 1 f x 2 right dx dd dngnn khwamyawkhxngesnrxbwngcungkhanwnidcak c 2 r r 1 f x 2 d x 2 r r 1 x 2 r 2 x 2 d x 2 r r 1 1 x r 2 d x 2 r 1 1 1 1 x 2 d x 2 r arcsin 1 arcsin 1 2 r p 2 p 2 2 p r displaystyle begin aligned c amp 2 int r r sqrt 1 f x 2 dx 2 int r r sqrt 1 frac x 2 r 2 x 2 dx 2 int r r sqrt frac 1 1 frac x r 2 dx 2r int 1 1 sqrt frac 1 1 x 2 dx amp 2r big arcsin 1 arcsin 1 big 2r tfrac pi 2 tfrac pi 2 2 pi r end aligned dd rupwngri aekikhkarkhanwnesnrxbwngkhxngwngri sbsxnkwawngklm aelaepnxnukrmxnnt infinite series xacpramanidcaksutrkhxng ramanucn nkkhnitsastrchawxinediy c p 3 a b 3 a b a 3 b displaystyle c approx pi 3 a b sqrt 3a b a 3b emux a displaystyle a aela b displaystyle b khux kungaeknexkaelakungaeknoth tamladb sxngkhanimikhwamsmphnthknkbkhwameyuxngsunyklangkhxngwngri dngtxipni b a 1 e 2 displaystyle b a sqrt 1 e 2 sungaesdngwasamarthekhiynsutrkhanwnesnrxbwngkhxngwngriiddngni c p a 3 1 1 e 2 3 1 e 2 1 3 1 e 2 p a 3 1 1 e 2 3 2 e 2 10 1 e 2 displaystyle c approx pi a 3 1 sqrt 1 e 2 sqrt 3 sqrt 1 e 2 1 3 sqrt 1 e 2 pi a 3 1 sqrt 1 e 2 sqrt 3 2 e 2 10 sqrt 1 e 2 aehlngkhxmulxun aekikhNumericana Circumference of an ellipse bthkhwamekiywkberkhakhnitniyngepnokhrng khunsamarthchwywikiphiediyidodyephimkhxmul duephimthi sthaniyxy khnitsastrekhathungcak https th wikipedia org w index php title esnrxbwng amp oldid 8453960, wikipedia, วิกิ หนังสือ, หนังสือ, ห้องสมุด,

บทความ

, อ่าน, ดาวน์โหลด, ฟรี, ดาวน์โหลดฟรี, mp3, วิดีโอ, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, รูปภาพ, เพลง, เพลง, หนัง, หนังสือ, เกม, เกม