fbpx
วิกิพีเดีย

รูปสามเหลี่ยม

รูปสามเหลี่ยม เป็นหนึ่งในรูปร่างพื้นฐานในเรขาคณิต คือรูปหลายเหลี่ยมซึ่งมี 3 มุมหรือจุดยอด และมี 3 ด้านหรือขอบที่เป็นส่วนของเส้นตรง รูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด A, B, และ C เขียนแทนด้วย ABC

รูปสามเหลี่ยม
รูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง
ขอบและจุดยอด3
สัญลักษณ์ชเลฟลี{3} (สำหรับด้านเท่า)
พื้นที่คำนวณได้หลายวิธี;
ดูด้านล่าง
มุมภายใน (องศา)180°

ในเรขาคณิตแบบยุคลิด จุด 3 จุดใดๆ ที่ไม่อยู่ในเส้นตรงเดียวกัน จะสามารถสร้างรูปสามเหลี่ยมได้เพียงรูปเดียว และเป็นรูปที่อยู่บนระนาบเดียว (เช่นระนาบสองมิติ)

เนื้อหา

แบ่งตามความยาวของด้าน

  • รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า (equilateral) มีด้านทุกด้านยาวเท่ากัน รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเป็นรูปหลายเหลี่ยมมุมเท่า นั่นคือมุมภายในทุกมุมจะมีขนาดเท่ากัน คือ 60° และเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ
  • รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว (isosceles) มีด้านสองด้านยาวเท่ากัน (ตามความหมายเริ่มแรกโดยยุคลิด ถึงแม้ว่ารูปสามเหลี่ยมด้านเท่าจะสามารถจัดว่าเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วได้ด้วย เพราะมีด้านที่ยาวเท่ากันอย่างน้อยสองด้าน) และมีมุมสองมุมขนาดเท่ากัน คือมุมที่ไม่ได้ประกอบด้วยด้านที่เท่ากันทั้งสอง
  • รูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า (scalene) ด้านทุกด้านจะมีความยาวแตกต่างกัน มุมภายในก็มีขนาดแตกต่างกันด้วย
รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว รูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า

แบ่งตามมุมภายใน

  • รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก (right, right-angled, rectangled) มีมุมภายในมุมหนึ่งมีขนาด 90° (มุมฉาก) ด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมฉากเรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก ซึ่งเป็นด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยม อีกสองด้านเรียกว่า ด้านประกอบมุมฉาก ความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสัมพันธ์กันตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส นั่นคือกำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก c จะเท่ากับผลบวกของกำลังสองของด้านประกอบมุมฉาก a, b เขียนอย่างย่อเป็น a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} ดูเพิ่มเติมที่ รูปสามเหลี่ยมมุมฉากพิเศษ
  • รูปสามเหลี่ยมมุมเฉียง (oblique) ไม่มีมุมใดเป็นมุมฉาก ซึ่งอาจหมายถึงรูปสามเหลี่ยมมุมป้านหรือรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม
  • รูปสามเหลี่ยมมุมป้าน (obtuse) มีมุมภายในมุมหนึ่งมีขนาดใหญ่กว่า 90° (มุมป้าน)
  • รูปสามเหลี่ยมมุมแหลม (acute) มุมภายในทุกมุมมีขนาดเล็กกว่า 90° (มุมแหลม) รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม แต่รูปสามเหลี่ยมมุมแหลมทุกรูปไม่ได้เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า
รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก รูปสามเหลี่ยมมุมป้าน รูปสามเหลี่ยมมุมแหลม
{\displaystyle \underbrace {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad } _{}}
รูปสามเหลี่ยมมุมเฉียง (ไม่มีมุมฉาก)

ข้อเท็จจริงเบื้องต้นเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมได้แสดงไว้ในหนังสือชื่อ Elements เล่ม 1-4 เมื่อประมาณ 300 ปีก่อนคริสตกาล รูปสามเหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยมชนิดหนึ่ง และเป็น 2-ซิมเพล็กซ์ (2-simplex) รูปสามเหลี่ยมทุกรูปเป็นรูปสองมิติ

มุมภายนอก d เท่ากับมุมภายใน a รวมกับ c

มุมภายในของรูปสามเหลี่ยมในปริภูมิแบบยุคลิดจะรวมได้ 180° เสมอ ด้วยข้อเท็จจริงนี้ทำให้เราสามารถหาขนาดของมุมที่สาม เมื่อเราทราบขนาดของมุมแล้วสองมุม มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยม (คือมุมที่อยู่ติดกับมุมภายใน โดยต่อความยาวด้านหนึ่งออกไป) จะมีขนาดเท่ากับมุมภายในที่ไม่ได้อยู่ติดกับมุมภายนอกรวมกัน สิ่งนี้เรียกว่าทฤษฎีบทมุมภายนอก มุมภายนอกทั้งสามจะรวมกันได้ 360° เช่นเดียวกับรูปหลายเหลี่ยมนูนอื่นๆ

ผลบวกของความยาวของสองด้านใดๆ ในรูปสามเหลี่ยม จะมากกว่าความยาวของด้านที่สามเสมอ สิ่งนี้เรียกว่าอสมการอิงรูปสามเหลี่ยม (กรณีพิเศษของการเท่ากันคือ มุมสองมุมถูกยุบให้มีขนาดเป็นศูนย์ รูปสามเหลี่ยมจะลดตัวลงเป็นเพียงส่วนของเส้นตรง)

รูปสามเหลี่ยมสองรูปจะเรียกว่า คล้ายกัน ก็ต่อเมื่อทุกมุมของรูปหนึ่ง มีขนาดเท่ากับมุมที่สมนัยกันของอีกรูปหนึ่ง ซึ่งในกรณีนี้ ด้านที่สมนัยกันจะเป็นสัดส่วน (proportional) ต่อกัน ตัวอย่างกรณีนี้เช่น รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีมุมร่วมกันมุมหนึ่ง และด้านตรงข้ามมุมนั้นขนานกัน เป็นต้น

นอกจากนี้ยังมีสัจพจน์และทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับการคล้ายกันของรูปสามเหลี่ยมดังนี้

  • รูปสามเหลี่ยมสองรูปจะคล้ายกัน ถ้ามีมุมที่สมนัยกันอย่างน้อยสองมุมเท่ากัน
  • ถ้าด้านที่สมนัยกันสองด้านเป็นสัดส่วนต่อกัน และมุมที่ด้านทั้งสองประกอบอยู่สมภาค (congruent) ต่อกัน แล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นจะคล้ายกัน
  • ถ้าด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมสองรูปเป็นสัดส่วนต่อกัน แล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นจะคล้ายกัน

สำหรับรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สมภาคต่อกัน (หรือเรียกได้ว่า เท่ากันทุกประการ) ซึ่งหมายความว่ามุมและด้านมีขนาดเท่ากันทั้งหมด ก็ยังมีสัจพจน์และทฤษฎีบทเกี่ยวกับเรื่องนี้

  • สัจพจน์ ด้าน-มุม-ด้าน: ถ้าด้านสองด้านและมุมที่อยู่ระหว่างสองด้านนั้นสมภาคต่อกัน ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมทั้งสองจะสมภาคต่อกัน
  • สัจพจน์ มุม-ด้าน-มุม: ถ้ามุมสองมุมและด้านที่อยู่ระหว่างสองมุมนั้นสมภาคต่อกัน ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมทั้งสองจะสมภาคต่อกัน
  • สัจพจน์ ด้าน-ด้าน-ด้าน: ถ้าด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมสมภาคต่อกัน ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมทั้งสองจะสมภาคต่อกัน
  • ทฤษฎีบท มุม-มุม-ด้าน: ถ้ามุมสองมุมและด้านที่ไม่อยู่ระหว่างสองมุมนั้นสมภาคต่อกัน ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมทั้งสองจะสมภาคต่อกัน
  • ทฤษฎีบท ด้านตรงข้ามมุมฉาก-ด้านประกอบมุมฉาก (ฉาก-ด้าน-ด้าน): ถ้าด้านประกอบมุมฉากด้านหนึ่งและด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปสมภาคกัน ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมทั้งสองจะสมภาคต่อกัน
  • ทฤษฎีบท ด้านตรงข้ามมุมฉาก-มุม (ฉาก-มุม-ด้าน): ถ้าด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลมมุมหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปสมภาคกัน ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมทั้งสองจะสมภาคต่อกัน
  • เงื่อนไข ด้าน-ด้าน-มุม (มุม-ด้าน-ด้าน): ถ้าด้านสองด้านและมุมที่ไม่อยู่ระหว่างสองด้านนั้นสมภาคต่อกัน และถ้าหากมุมนั้นเป็นมุมป้าน นั่นคือด้านตรงข้ามยาวกว่าด้านประชิดมุม หรือด้านตรงข้ามเท่ากับไซน์ของมุมคูณด้วยด้านประชิดมุม ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมทั้งสองจะสมภาคต่อกัน

ถึงแม้ว่ามุมทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมจะสมภาคกัน (มุม-มุม-มุม) เรายังไม่สามารถสรุปได้ว่ารูปสามเหลี่ยมทั้งสองสมภาคต่อกัน เพียงแค่คล้ายกัน

โปรดสังเกตต่อไปอีกว่า

  • เงื่อนไข ด้าน-ด้าน-มุม รับรองไม่ได้ว่ารูปสามเหลี่ยมจะสมภาคกันเสมอ
  • สำหรับทฤษฎีบท ด้านตรงข้ามมุมฉาก-ด้านประกอบมุมฉาก รูปสามเหลี่ยมจะต้องเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หากไม่เช่นนั้นก็จะถูกจัดเป็นเงื่อนไข ด้าน-ด้าน-มุม ซึ่งก็รับรองไม่ได้ว่ารูปสามเหลี่ยมจะสมภาคกัน

การใช้รูปสามเหลี่ยมมุมฉากและแนวคิดเรื่องความคล้าย ฟังก์ชันตรีโกณมิติอย่างไซน์และโคไซน์จึงถูกนิยามขึ้น ซึ่งเป็นฟังก์ชันของมุมที่ใช้ในการตรวจสอบเรื่องตรีโกณมิติ

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส (Pythagorean theorem) เป็นอีกทฤษฎีบทหนึ่งที่สำคัญ กล่าวว่าในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ กำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก จะเท่ากับผลรวมของกำลังสองของความยาวของทั้งสองด้านที่เหลือ ถ้าด้านตรงข้ามมุมฉากยาว c หน่วย และด้านประกอบมุมฉากยาว a และ b หน่วย ดังนั้นทฤษฎีบทนี้จึงให้ความหมายว่า

a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\,\!}

บทกลับของทฤษฎีบทนี้ก็ยังคงเป็นจริง นั่นคือถ้าความยาวของด้านทั้งสามตรงตามเงื่อนไขในสมการข้างต้น ดังนั้นรูปสามเหลี่ยมนั้นจะเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ข้อเท็จจริงอย่างอื่นที่เกี่ยวข้องกับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากมีดังนี้

a + b + 90 = 180 a + b = 90 a = 90 b {\displaystyle a+b+90^{\circ }=180^{\circ }\implies a+b=90^{\circ }\implies a=90^{\circ }-b}
  • ถ้าหากด้านประกอบมุมฉากมีขนาดเท่ากัน มุมแหลมสองมุมก็จะมีขนาดเท่ากันด้วยคือ 45° และจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากจะมีขนาดเป็น √2 เท่าของด้านประกอบมุมฉาก
  • ถ้าหากมุมแหลมสองมุมมีขนาด 30° และ 60° ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากจะมีขนาดเป็น 2 เท่าของด้านประกอบมุมฉากที่สั้นกว่า

สำหรับรูปสามเหลี่ยมทุกรูป ขนาดของด้านและมุมมีความสัมพันธ์กันตามกฎของไซน์และกฎของโคไซน์

ศูนย์กลางวงล้อม คือจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ลากผ่านจุดยอดทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม

เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก (perpendicular bisector) คือ เส้นตรงที่ลากผ่านจุดกึ่งกลางของด้าน และตั้งฉากกับด้านนั้น นั่นคือ ทำมุมฉากกับด้านนั้น เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากทั้งสามจะพบกันที่จุดเดียว คือ ศูนย์กลางวงล้อม (circumcenter) ของรูปสามเหลี่ยม จุดนี้เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมล้อม (circumcircle) ซึ่งเป็นวงกลมที่ลากผ่านจุดยอดทั้งสาม

ทฤษฎีบทของธาลีส (Thales' theorem) กล่าวว่า ถ้าศูนย์กลางวงล้อมอยู่บนด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมแล้ว มุมตรงข้ามด้านนั้นจะเป็นมุมฉาก นอกจากนี้ ถ้าศูนย์กลางวงล้อมอยู่ในรูปสามเหลี่ยมแล้ว รูปสามเหลี่ยมนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม ถ้าศูนย์กลางวงล้อมอยู่นอกรูปสามเหลี่ยมแล้ว รูปสามเหลี่ยมนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมป้าน

จุดตัดของส่วนสูงคือ จุดออร์โทเซนเตอร์

ส่วนสูง (altitude) ของรูปสามเหลี่ยม คือ เส้นตรงที่ลากผ่านจุดยอดและตั้งฉาก (ทำมุมฉาก) กับด้านตรงข้าม ด้านตรงข้ามนั้นเรียกว่าฐาน (base) ของส่วนสูง และจุดที่ส่วนสูงตัดกับฐาน (หรือส่วนที่ขยายออกมา) นั้นเรียกว่า เท้า (foot) ของส่วนสูง ความยาวของส่วนสูงคือระยะทางระหว่างฐานกับจุดยอด ส่วนสูงทั้งสามจะตัดกันที่จุดเดียว เรียกจุดนั้นว่า จุดออร์โทเซนเตอร์(orthocenter) ของรูปสามเหลี่ยม จุดออร์โทเซนเตอร์จะอยู่ในรูปสามเหลี่ยมก็ต่อเมื่อรูปสามเหลี่ยมนั้นไม่เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมป้าน จุดยอดทั้งสามและจุดออร์โทเซนเตอร์นั้นอยู่ในระบบออร์โทเซนตริก (orthocentric system)

จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งมุม ใช้หาจุดศูนย์กลางของวงกลมแนบใน

เส้นแบ่งครึ่งมุม (angle bisector) คือ เส้นตรงที่ลากผ่านจุดยอด ซึ่งแบ่งมุมออกเป็นครึ่งหนึ่ง เส้นแบ่งครึ่งมุมทั้งสามจะตัดกันที่จุดเดียว คือ จุดศูนย์กลางของวงกลมแนบใน (incircle) ของรูปสามเหลี่ยม วงกลมแนบในคือวงกลมที่อยู่ในรูปสามเหลี่ยม และสัมผัสด้านทั้งสาม มีอีกสามวงกลมที่สำคัญคือ วงกลมแนบนอก (excircle) คือวงกลมที่อยู่นอกรูปสามเหลี่ยมและสัมผัสกับด้านหนึ่งด้านและส่วนที่ขยายออกมาทั้งสอง จุดศูนย์กลางของวงกลมแนบในและวงกลมแนบนอกอยู่ในระบบออร์โทเซนตริก


เซนทรอยด์ เป็นศูนย์ถ่วง

เส้นมัธยฐาน (median) ของรูปสามเหลี่ยม คือ เส้นตรงที่ลากผ่านจุดยอดและจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม ซึ่งจะแบ่งรูปสามเหลี่ยมออกเป็นพื้นที่ที่เท่ากัน เส้นมัธยฐานทั้งสามจะตัดกันที่จุดเดียว คือ เซนทรอยด์ (centroid) ของรูปสามเหลี่ยม จุดนี้จะเป็นศูนย์ถ่วง (center of gravity) ของรูปสามเหลี่ยมด้วย ถ้ามีไม้ที่เป็นรูปสามเหลี่ยม คุณสามารถทำให้มันสมดุลได้ที่เซนทรอยด์ของมันหรือเส้นใดๆที่ลากผ่านเซนทรอยด์ เซนทรอยด์จะแบ่งเส้นมัธยฐานด้วยอัตราส่วน 2:1 นั่นคือระยะทางระหว่างจุดยอดกับเซนทรอยด์ จะเป็นสองเท่าของระยะทางระหว่างเซนทรอยด์กับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม

วงกลมเก้าจุด แสดงความสมมาตรที่จุดหกจุดอยู่บนวงกลมเดียวกัน

จุดกึ่งกลางของด้านทั้งสาม และเท้าของส่วนสูงทั้งสาม จะอยู่บนวงกลมเดียวกัน คือ วงกลมเก้าจุด (nine point circle) ของรูปสามเหลี่ยม อีกสามจุดที่เหลือคือจุดกึ่งกลางระหว่างจุดยอดกับจุดออร์โทเซนเตอร์ ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของส่วนสูง รัศมีของวงกลมเก้าจุดจะเป็นครึ่งหนึ่งของรัศมีวงกลมล้อม มันจะสัมผัสวงกลมแนบใน (ที่จุด Feuerbach) และสัมผัสวงกลมแนบนอก


เส้นออยเลอร์ คือเส้นที่ลากผ่าน เซนทรอยด์ (สีเหลือง) , จุดออร์โทเซนเตอร์ (สีน้ำเงิน) , ศูนย์กลางวงล้อม (สีเขียว) และจุดศูนย์กลางของวงกลมเก้าจุด (สีแดง)

เซนทรอยด์ (สีเหลือง) , จุดออร์โทเซนเตอร์ (สีน้ำเงิน) , ศูนย์กลางวงล้อม (สีเขียว) และจุดศูนย์กลางของวงกลมเก้าจุด (จุดสีแดง) ทั้งหมดจะอยู่บนเส้นเดียวกัน ที่เรียกว่า เส้นออยเลอร์ (Euler's line) (เส้นสีแดง) จุดศูนย์กลางของวงกลมเก้าจุดจะอยู่กึ่งกลางระหว่างจุดออร์โทเซนเตอร์กับศูนย์กลางวงล้อม ระยะทางระหว่างเซนทรอยด์กับศูนย์กลางวงล้อมจะเป็นครึ่งหนึ่งของระยะทางระหว่างเซนทรอยด์กับจุดออร์โทเซนเตอร์

จุดศูนย์กลางของวงกลมแนบในโดยทั่วไปจะไม่อยู่บนเส้นออยเลอร์

ภาพสะท้อนของเส้นมัธยฐานที่เส้นแบ่งครึ่งมุมของจุดยอดเดียวกัน เรียกว่า symmedian symmedianทั้งสามจะตัดกันที่จุดเดียว คือ จุด symmedian (symmedian point) ของรูปสามเหลี่ยม

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม สามารถแสดงได้เป็นครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ซึ่งมีความยาวฐานกับความสูงที่เท่ากัน

การคำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเป็นปัญหาพื้นฐานที่มักจะพบในสถานการณ์ที่แตกต่างกัน สูตรที่ง่ายและเป็นที่รู้จักมากที่สุดคือ

S = 1 2 b h {\displaystyle S={\frac {1}{2}}bh}

เมื่อ S หมายถึงพื้นที่ b คือความยาวของฐาน และ h คือความสูงหรือส่วนสูงของรูปสามเหลี่ยม คำว่าฐานในที่นี้สามารถหมายถึงด้านในด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยม และส่วนสูงคือระยะที่วัดจากมุมที่อยู่ตรงข้ามด้านนั้นตั้งฉากไปยังฐาน

ถึงแม้ว่าสูตรนี้จะง่าย แต่ก็ใช้ประโยชน์ได้เฉพาะเมื่อสามารถหาความสูงของรูปสามเหลี่ยมได้โดยง่าย ตัวอย่างเช่นการรังวัดที่ดินที่มีลักษณะเป็นรูปสามเหลี่ยม จะวัดความยาวของด้านทั้งสามแล้วสามารถคำนวณหาพื้นที่ได้โดยไม่ต้องวัดส่วนสูงเป็นต้น วิธีการที่หลากหลายถูกใช้ในทางปฏิบัติ ขึ้นอยู่กับว่าเรารู้อะไรเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมบ้าง วิธีต่อไปนี้เป็นสูตรหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่ใช้กันบ่อยๆ

ใช้เวกเตอร์

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานสามารถคำนวณได้ด้วยเวกเตอร์ กำหนดให้ AB และ AC เป็นเวกเตอร์ที่ชี้จาก A ไป B และ A ไป C ตามลำดับ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD คือ | A B × A C | {\displaystyle |{AB}\times {AC}|} ซึ่งเป็นขนาดของผลคูณไขว้ระหว่างเวกเตอร์ AB กับ AC และ | A B × A C | {\displaystyle |{AB}\times {AC}|} มีค่าเท่ากับ | h × A C | {\displaystyle |{h}\times {AC}|} เมื่อ h แทนส่วนสูงที่เป็นเวกเตอร์

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC เป็นครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานรูปนี้ หรือ S = 1 2 | A B × A C | {\displaystyle S={\frac {1}{2}}|{AB}\times {AC}|}

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC ก็ยังสามารถเขียนได้ด้วยรูปแบบของผลคูณจุดดังนี้

1 2 ( A B A B ) ( A C A C ) ( A B A C ) 2 = 1 2 | A B | 2 | A C | 2 ( A B A C ) 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {(\mathbf {AB} \cdot \mathbf {AB} )(\mathbf {AC} \cdot \mathbf {AC} )-(\mathbf {AB} \cdot \mathbf {AC} )^{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {|\mathbf {AB} |^{2}|\mathbf {AC} |^{2}-(\mathbf {AB} \cdot \mathbf {AC} )^{2}}}\,}
ใช้ตรีโกณมิติหาส่วนสูง h

ใช้ตรีโกณมิติ

ส่วนสูงของรูปสามเหลี่ยมหาได้ด้วยตรีโกณมิติ จากรูปทางซ้าย ส่วนสูงจะเท่ากับ h = a sin γ นำไปแทนในสูตร S = ½bh ที่ได้จากข้างต้น พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมจึงแสดงได้เป็น

S = 1 2 a b sin γ = 1 2 b c sin α = 1 2 c a sin β {\displaystyle S={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma ={\frac {1}{2}}bc\sin \alpha ={\frac {1}{2}}ca\sin \beta }

นอกจากนั้น เมื่อ sin α = sin (π - α) = sin (β + γ) และเป็นเช่นนี้เหมือนกันกับอีกสองมุมที่เหลือ จะได้สูตร

S = 1 2 a b sin ( α + β ) = 1 2 b c sin ( β + γ ) = 1 2 c a sin ( γ + α ) {\displaystyle S={\frac {1}{2}}ab\sin(\alpha +\beta )={\frac {1}{2}}bc\sin(\beta +\gamma )={\frac {1}{2}}ca\sin(\gamma +\alpha )}

ใช้พิกัด

ถ้าจุดยอด A อยู่ที่จุดกำเนิด (0, 0) ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน และกำหนดให้พิกัดของอีกสองจุดยอดอยู่ที่ B = ( x B , y B ) , C = ( x C , y C ) {\displaystyle {B=(x_{B},y_{B}),C=(x_{C},y_{C})}} แล้วพื้นที่ S จะคำนวณได้จาก ½ เท่าของค่าสัมบูรณ์ของดีเทอร์มิแนนต์

S = 1 2 | det ( x B x C y B y C ) | = 1 2 | x B y C x C y B | {\displaystyle S={\frac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{B}&x_{C}\\y_{B}&y_{C}\end{pmatrix}}\right|={\frac {1}{2}}|x_{B}y_{C}-x_{C}y_{B}|}

สำหรับจุดยอดสามจุดใดๆ สมการคือ 121.12-74258/4561*754120+54851

S = 1 2 | det ( x A x B x C y A y B y C 1 1 1 ) | = 1 2 | x A y C x A y B + x B y A x B y C + x C y B x C y A | {\displaystyle S={\frac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right|={\frac {1}{2}}{\big |}x_{A}y_{C}-x_{A}y_{B}+x_{B}y_{A}-x_{B}y_{C}+x_{C}y_{B}-x_{C}y_{A}{\big |}}
S = 1 2 | ( x C x A ) ( y B y A ) ( x B x A ) ( y C y A ) | {\displaystyle S={\frac {1}{2}}{\big |}(x_{C}-x_{A})(y_{B}-y_{A})-(x_{B}-x_{A})(y_{C}-y_{A}){\big |}}

ในสามมิติ พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม A = ( x A , y A , z A ) , B = ( x B , y B , z B ) , C = ( x C , y C , z C ) {\displaystyle {A=(x_{A},y_{A},z_{A}),B=(x_{B},y_{B},z_{B}),C=(x_{C},y_{C},z_{C})}} คือผลบวกพีทาโกรัสของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่ฉายไปบนระนาบพื้นฐาน ( x = 0 , y = 0 , z = 0 {\displaystyle x=0,y=0,z=0} )

S = 1 2 ( det ( x A x B x C y A y B y C 1 1 1 ) ) 2 + ( det ( y A y B y C z A z B z C 1 1 1 ) ) 2 + ( det ( z A z B z C x A x B x C 1 1 1 ) ) 2 {\displaystyle S={\frac {1}{2}}{\sqrt {\left(\det {\begin{pmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right)^{2}+\left(\det {\begin{pmatrix}y_{A}&y_{B}&y_{C}\\z_{A}&z_{B}&z_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right)^{2}+\left(\det {\begin{pmatrix}z_{A}&z_{B}&z_{C}\\x_{A}&x_{B}&x_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right)^{2}}}}

ใช้สูตรของเฮรอน

อีกวิธีที่ใช้คำนวณ S ได้คือใช้สูตรของเฮรอน

S = s ( s a ) ( s b ) ( s c ) {\displaystyle S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}

เมื่อ s = ( a + b + c ) / 2 {\displaystyle s=(a+b+c)/2} คือครึ่งหนึ่งของเส้นรอบรูปของรูปสามเหลี่ยม

นอกจากนี้ก็มีสูตรอื่นที่เทียบเคียงกับสูตรของเฮรอน

S = 1 4 ( a 2 + b 2 + c 2 ) 2 2 ( a 4 + b 4 + c 4 ) {\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}
S = 1 4 2 ( a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 ) ( a 4 + b 4 + c 4 ) {\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}
S = 1 4 ( a + b c ) ( a b + c ) ( a + b + c ) ( a + b + c ) {\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)(a+b+c)}}}

โดยทั่วไปแล้ว มีวิธีการที่ได้รับการยอมรับหลากหลายวิธีเพื่อคำนวณความยาวของด้านหรือขนาดของมุม ในขณะที่วิธีการเฉพาะอย่างสามารถใช้ได้ดีกับค่าต่างๆ ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งวิธีอื่นอาจต้องอยู่ในสถานการณ์ที่ซับซ้อนมากกว่า

อัตราส่วนตรีโกณมิติในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

รูปสามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่ง
ดูบทความหลักที่: ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก อัตราส่วนตรีโกณมิติของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์สามารถใช้คำนวณหามุมที่ไม่ทราบขนาด หรือความยาวของด้านที่ไม่ทราบได้ ด้านต่างๆ ของรูปสามเหลี่ยมมีดังต่อไปนี้

  • ด้านตรงข้ามมุมฉาก คือด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมฉาก หรือนิยามเป็นด้านที่ยาวที่สุดของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากก็ได้ ตามรูปคือด้าน h
  • ด้านตรงข้ามมุม คือด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมที่เราสนใจ ตามรูปคือ a
  • ด้านประชิดมุม คือด้านที่อยู่ติดต่อกันบนมุมฉากกับมุมที่เราสนใจ ตามรูปคือ b

ไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์

ไซน์ของมุม คืออัตราส่วนระหว่างความยาวของด้านตรงข้ามมุม ต่อความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก

sin A = opposite hypotenuse = a h {\displaystyle \sin A={\frac {\textrm {opposite}}{\textrm {hypotenuse}}}={\frac {a}{h}}}

โปรดสังเกตว่าอัตราส่วนนี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเฉพาะรูปใดรูปหนึ่ง แค่เรามีมุมที่สนใจ A บนรูปสามเหลี่ยมนั้นก็เพียงพอ

โคไซน์ของมุม คืออัตราส่วนระหว่างความยาวของด้านประชิดมุม ต่อความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก

cos A = adjacent hypotenuse = b h {\displaystyle \cos A={\frac {\textrm {adjacent}}{\textrm {hypotenuse}}}={\frac {b}{h}}}

แทนเจนต์ของมุม คืออัตราส่วนระหว่างความยาวของด้านตรงข้ามมุม ต่อความยาวของด้านประชิดมุม

tan A = opposite adjacent = a b {\displaystyle \tan A={\frac {\textrm {opposite}}{\textrm {adjacent}}}={\frac {a}{b}}}

เราสามารถท่องว่า "ข้ามฉาก ชิดฉาก ข้ามชิด" สำหรับการจำอัตราส่วนเหล่านี้อย่างย่อ

ฟังก์ชันผกผัน

ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันสามารถใช้คำนวณมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เมื่อเราทราบความยาวของด้านสองด้านใดๆ

อาร์กไซน์ ใช้สำหรับคำนวณขนาดของมุมที่สนใจ จากความยาวของด้านตรงข้ามมุม กับความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก

θ = arcsin ( opposite hypotenuse ) {\displaystyle \theta =\arcsin \left({\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}\right)}

อาร์กโคไซน์ ใช้สำหรับคำนวณขนาดของมุมที่สนใจ จากความยาวของด้านประชิดมุม กับความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก

θ = arccos ( adjacent hypotenuse ) {\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}}\right)}

อาร์กแทนเจนต์ ใช้สำหรับคำนวณขนาดของมุมที่สนใจ จากความยาวของด้านตรงข้ามมุม กับความยาวของด้านประชิดมุม

θ = arctan ( opposite adjacent ) {\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {\text{opposite}}{\text{adjacent}}}\right)}

กฎของไซน์และโคไซน์

รูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน a, b, c และมีมุม α, β, γ ตามลำดับ
ดูบทความหลักที่: กฎของไซน์ และ กฎของโคไซน์

กฎของไซน์ (law of sine) หรือกฎไซน์ (sine rule) ระบุไว้ว่าอัตราส่วนของความยาวของด้าน a ที่สมนัยกับมุม α (มุมตรงข้าม) จะเท่ากับอัตราส่วนของความยาวของด้าน b ที่สมนัยกับมุม β ดังนี้

a sin α = b sin β = c sin γ {\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}}

กฎของโคไซน์ (law of cosine) หรือกฎโคไซน์ (cosine rule) เป็นการเชื่อมโยงความสัมพันธ์ระหว่างด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมที่ไม่ทราบความยาว ไปยังด้านที่เหลือและมุมที่อยู่ตรงข้าม จากรูปทางซ้ายมือ สมมติว่าเราทราบความยาวของด้าน a และ b และทราบขนาดของมุมตรงข้าม γ ความยาวของด้าน c สามารถคำนวณจากสูตรต่อไปนี้

c 2 = a 2 + b 2 2 a b cos ( γ ) b 2 = a 2 + c 2 2 a c cos ( β ) a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos ( α ) {\displaystyle c^{2}\ =a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )\implies b^{2}\ =a^{2}+c^{2}-2ac\cos(\beta )\implies a^{2}\ =b^{2}+c^{2}-2bc\cos(\alpha )}

รูปสามเหลี่ยมที่ไม่อยู่บนระนาบ หมายถึงรูปสามเหลี่ยมที่ไม่ได้ถูกวาดขึ้นบนพื้นผิวที่แบนราบ ตัวอย่างรูปสามเหลี่ยมที่ไม่อยู่บนระนาบเช่น รูปสามเหลี่ยมบนทรงกลมในเรขาคณิตทรงกลม และรูปสามเหลี่ยมเชิงไฮเพอร์โบลาในเรขาคณิตเชิงไฮเพอร์โบลา ซึ่งไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของเรขาคณิตแบบยุคลิด

ในขณะที่รูปสามเหลี่ยมธรรมดา (สองมิติ) มุมภายในรูปสามเหลี่ยมจะรวมกันได้ 180° แต่รูปสามเหลี่ยมที่ไม่อยู่บนระนาบมุมภายในอาจรวมกันได้มากกว่าหรือน้อยกว่านั้น บนพื้นผิวที่มีความโค้งเป็นลบ (บุ๋มลงไป) จะบวกกันได้น้อยกว่า 180° และบนพื้นผิวที่มีความโค้งเป็นบวก (นูนขึ้นมา) จะบวกกันได้มากกว่า 180° นั่นหมายความว่า ถ้าเราวาดรูปสามเหลี่ยมขนาดใหญ่มากบนพื้นผิวโลก มุมภายในจะรวมกันได้มากกว่า 180°

คอมมอนส์ มีภาพและสื่อเกี่ยวกับ:
รูปสามเหลี่ยม
  • of triangle constructions using compass and straightedge.
  • Deko Dekov: . Contains a few thousands theorems discovered by a computer about interesting points associated with any triangle.
  • Clark Kimberling: . Lists some 3200 interesting points associated with any triangle.
  • Christian Obrecht: . Software package for creating illustrations of facts about triangles and other theorems in Euclidean geometry.
  • , by Quim Castellsaguer
  • - solves for remaining sides and angles when given three sides or angles, supports degrees and radians.
  • with interactive applets that are also useful in a classroom setting.
  • Interactive illustrations at Geometry from the Land of the Incas.

รูปสามเหลี่ยม
ปสามเหล, ยม, ภาษาอ, เฝ, าด, แก, ไข, เปล, ยนทางจาก, มฉาก, เป, นหน, งในร, ปร, างพ, นฐานในเรขาคณ, อร, ปหลายเหล, ยมซ, งม, มหร, อจ, ดยอด, และม, านหร, อขอบท, เป, นส, วนของเส, นตรง, ดยอด, และ, เข, ยนแทนด, วย, abcร, ปหน, งขอบและจ, ดยอด3ส, ญล, กษณ, ชเลฟล, สำหร, บด, านเ. rupsamehliym phasaxun efadu aekikh epliynthangcak rupsamehliymmumchak rupsamehliym epnhnunginruprangphunthaninerkhakhnit khuxruphlayehliymsungmi 3 mumhruxcudyxd aelami 3 danhruxkhxbthiepnswnkhxngesntrng rupsamehliymthimicudyxd A B aela C ekhiynaethndwy ABCrupsamehliymrupsamehliymruphnungkhxbaelacudyxd3sylksnchelfli 3 sahrbdanetha phunthikhanwnidhlaywithi dudanlangmumphayin xngsa 180 inerkhakhnitaebbyukhlid cud 3 cudid thiimxyuinesntrngediywkn casamarthsrangrupsamehliymidephiyngrupediyw aelaepnrupthixyubnranabediyw echnranabsxngmiti enuxha 1 praephthkhxngrupsamehliym 1 1 aebngtamkhwamyawkhxngdan 1 2 aebngtammumphayin 2 khxethccringphunthan 3 cud esntrng aelarupwngklmthiekiywkhxngkbrupsamehliym 4 karhaphunthikhxngrupsamehliym 4 1 ichewketxr 4 2 ichtrioknmiti 4 3 ichphikd 4 4 ichsutrkhxngehrxn 5 karkhanwndanaelamum 5 1 xtraswntrioknmitiinrupsamehliymmumchak 5 1 1 isn okhisn aelaaethnecnt 5 1 2 fngkchnphkphn 5 2 kdkhxngisnaelaokhisn 6 rupsamehliymthiimxyubnranab 7 xangxing 8 duephim 9 aehlngkhxmulxunpraephthkhxngrupsamehliymaebngtamkhwamyawkhxngdan rupsamehliymdanetha equilateral midanthukdanyawethakn rupsamehliymdanethaepnruphlayehliymmumetha nnkhuxmumphayinthukmumcamikhnadethakn khux 60 aelaepnruphlayehliympkti 1 rupsamehliymhnacw isosceles midansxngdanyawethakn tamkhwamhmayerimaerkodyyukhlid thungaemwarupsamehliymdanethacasamarthcdwaepnrupsamehliymhnacwiddwy ephraamidanthiyawethaknxyangnxysxngdan aelamimumsxngmumkhnadethakn khuxmumthiimidprakxbdwydanthiethaknthngsxng 2 rupsamehliymdanimetha scalene danthukdancamikhwamyawaetktangkn mumphayinkmikhnadaetktangkndwy 3 rupsamehliymdanetha rupsamehliymhnacw rupsamehliymdanimethaaebngtammumphayin rupsamehliymmumchak right right angled rectangled mimumphayinmumhnungmikhnad 90 mumchak danthixyutrngkhamkbmumchakeriykwa dantrngkhammumchak sungepndanthiyawthisudinrupsamehliym xiksxngdaneriykwa danprakxbmumchak khwamyawdankhxngrupsamehliymmumchaksmphnthkntamthvsdibthphithaokrs nnkhuxkalngsxngkhxngkhwamyawkhxngdantrngkhammumchak c caethakbphlbwkkhxngkalngsxngkhxngdanprakxbmumchak a b ekhiynxyangyxepn a 2 b 2 c 2 displaystyle a 2 b 2 c 2 duephimetimthi rupsamehliymmumchakphiess rupsamehliymmumechiyng oblique immimumidepnmumchak sungxachmaythungrupsamehliymmumpanhruxrupsamehliymmumaehlm rupsamehliymmumpan obtuse mimumphayinmumhnungmikhnadihykwa 90 mumpan rupsamehliymmumaehlm acute mumphayinthukmummikhnadelkkwa 90 mumaehlm rupsamehliymdanethaepnrupsamehliymmumaehlm aetrupsamehliymmumaehlmthukrupimidepnrupsamehliymdanetha rupsamehliymmumchak rupsamehliymmumpan rupsamehliymmumaehlm displaystyle underbrace qquad qquad qquad qquad qquad qquad rupsamehliymmumechiyng immimumchak khxethccringphunthankhxethccringebuxngtnekiywkbrupsamehliymidaesdngiwinhnngsuxchux Elements elm 1 4 emuxpraman 300 pikxnkhristkal rupsamehliymepnruphlayehliymchnidhnung aelaepn 2 simephlks 2 simplex rupsamehliymthukrupepnrupsxngmiti mumphaynxk d ethakbmumphayin a rwmkb c mumphayinkhxngrupsamehliyminpriphumiaebbyukhlidcarwmid 180 esmx dwykhxethccringnithaiherasamarthhakhnadkhxngmumthisam emuxerathrabkhnadkhxngmumaelwsxngmum mumphaynxkkhxngrupsamehliym khuxmumthixyutidkbmumphayin odytxkhwamyawdanhnungxxkip camikhnadethakbmumphayinthiimidxyutidkbmumphaynxkrwmkn singnieriykwathvsdibthmumphaynxk mumphaynxkthngsamcarwmknid 360 echnediywkbruphlayehliymnunxun phlbwkkhxngkhwamyawkhxngsxngdanid inrupsamehliym camakkwakhwamyawkhxngdanthisamesmx singnieriykwaxsmkarxingrupsamehliym krniphiesskhxngkarethaknkhux mumsxngmumthukyubihmikhnadepnsuny rupsamehliymcaldtwlngepnephiyngswnkhxngesntrng rupsamehliymsxngrupcaeriykwa khlaykn ktxemuxthukmumkhxngruphnung mikhnadethakbmumthismnyknkhxngxikruphnung sunginkrnini danthismnykncaepnsdswn proportional txkn twxyangkrniniechn rupsamehliymsxngrupthimimumrwmknmumhnung aeladantrngkhammumnnkhnankn epntn nxkcakniyngmiscphcnaelathvsdibthphunthanekiywkbkarkhlayknkhxngrupsamehliymdngni rupsamehliymsxngrupcakhlaykn thamimumthismnyknxyangnxysxngmumethakn thadanthismnyknsxngdanepnsdswntxkn aelamumthidanthngsxngprakxbxyusmphakh congruent txkn aelwrupsamehliymsxngrupnncakhlaykn thadanthngsamkhxngrupsamehliymsxngrupepnsdswntxkn aelwrupsamehliymsxngrupnncakhlaykn sahrbrupsamehliymsxngrupthismphakhtxkn hruxeriykidwa ethaknthukprakar sunghmaykhwamwamumaeladanmikhnadethaknthnghmd kyngmiscphcnaelathvsdibthekiywkberuxngni scphcn dan mum dan thadansxngdanaelamumthixyurahwangsxngdannnsmphakhtxkn dngnnrupsamehliymthngsxngcasmphakhtxkn scphcn mum dan mum thamumsxngmumaeladanthixyurahwangsxngmumnnsmphakhtxkn dngnnrupsamehliymthngsxngcasmphakhtxkn scphcn dan dan dan thadanthngsamkhxngrupsamehliymsmphakhtxkn dngnnrupsamehliymthngsxngcasmphakhtxkn thvsdibth mum mum dan thamumsxngmumaeladanthiimxyurahwangsxngmumnnsmphakhtxkn dngnnrupsamehliymthngsxngcasmphakhtxkn thvsdibth dantrngkhammumchak danprakxbmumchak chak dan dan thadanprakxbmumchakdanhnungaeladantrngkhammumchakkhxngrupsamehliymmumchaksxngrupsmphakhkn dngnnrupsamehliymthngsxngcasmphakhtxkn thvsdibth dantrngkhammumchak mum chak mum dan thadantrngkhammumchakaelamumaehlmmumhnungkhxngrupsamehliymmumchaksxngrupsmphakhkn dngnnrupsamehliymthngsxngcasmphakhtxkn enguxnikh dan dan mum mum dan dan thadansxngdanaelamumthiimxyurahwangsxngdannnsmphakhtxkn aelathahakmumnnepnmumpan nnkhuxdantrngkhamyawkwadanprachidmum hruxdantrngkhamethakbisnkhxngmumkhundwydanprachidmum dngnnrupsamehliymthngsxngcasmphakhtxkn thungaemwamumthngsamkhxngrupsamehliymcasmphakhkn mum mum mum erayngimsamarthsrupidwarupsamehliymthngsxngsmphakhtxkn ephiyngaekhkhlaykn oprdsngekttxipxikwa enguxnikh dan dan mum rbrxngimidwarupsamehliymcasmphakhknesmx sahrbthvsdibth dantrngkhammumchak danprakxbmumchak rupsamehliymcatxngepnrupsamehliymmumchak hakimechnnnkcathukcdepnenguxnikh dan dan mum sungkrbrxngimidwarupsamehliymcasmphakhkn karichrupsamehliymmumchakaelaaenwkhideruxngkhwamkhlay fngkchntrioknmitixyangisnaelaokhisncungthukniyamkhun sungepnfngkchnkhxngmumthiichinkartrwcsxberuxngtrioknmiti thvsdibthphithaokrs thvsdibthphithaokrs Pythagorean theorem epnxikthvsdibthhnungthisakhy klawwainrupsamehliymmumchakid kalngsxngkhxngkhwamyawkhxngdantrngkhammumchak caethakbphlrwmkhxngkalngsxngkhxngkhwamyawkhxngthngsxngdanthiehlux thadantrngkhammumchakyaw c hnwy aeladanprakxbmumchakyaw a aela b hnwy dngnnthvsdibthnicungihkhwamhmaywa a 2 b 2 c 2 displaystyle a 2 b 2 c 2 bthklbkhxngthvsdibthnikyngkhngepncring nnkhuxthakhwamyawkhxngdanthngsamtrngtamenguxnikhinsmkarkhangtn dngnnrupsamehliymnncaepnrupsamehliymmumchak khxethccringxyangxunthiekiywkhxngkbrupsamehliymmumchakmidngni mumaehlmsxngmuminrupsamehliymmumchakepnmumprakxbmumchak complementary angles a b 90 180 a b 90 a 90 b displaystyle a b 90 circ 180 circ implies a b 90 circ implies a 90 circ b thahakdanprakxbmumchakmikhnadethakn mumaehlmsxngmumkcamikhnadethakndwykhux 45 aelacakthvsdibthphithaokrs khwamyawkhxngdantrngkhammumchakcamikhnadepn 2 ethakhxngdanprakxbmumchak thahakmumaehlmsxngmummikhnad 30 aela 60 khwamyawkhxngdantrngkhammumchakcamikhnadepn 2 ethakhxngdanprakxbmumchakthisnkwa sahrbrupsamehliymthukrup khnadkhxngdanaelamummikhwamsmphnthkntamkdkhxngisnaelakdkhxngokhisncud esntrng aelarupwngklmthiekiywkhxngkbrupsamehliym sunyklangwnglxm khuxcudsunyklangkhxngwngklmthilakphancudyxdthngsamkhxngrupsamehliym esnaebngkhrungtngchak perpendicular bisector khux esntrngthilakphancudkungklangkhxngdan aelatngchakkbdannn nnkhux thamumchakkbdannn esnaebngkhrungtngchakthngsamcaphbknthicudediyw khux sunyklangwnglxm circumcenter khxngrupsamehliym cudniepncudsunyklangkhxngwngklmlxm circumcircle sungepnwngklmthilakphancudyxdthngsam thvsdibthkhxngthalis Thales theorem klawwa thasunyklangwnglxmxyubndaniddanhnungkhxngrupsamehliymaelw mumtrngkhamdannncaepnmumchak nxkcakni thasunyklangwnglxmxyuinrupsamehliymaelw rupsamehliymnnepnrupsamehliymmumaehlm thasunyklangwnglxmxyunxkrupsamehliymaelw rupsamehliymnnepnrupsamehliymmumpan cudtdkhxngswnsungkhux cudxxrothesnetxr swnsung altitude khxngrupsamehliym khux esntrngthilakphancudyxdaelatngchak thamumchak kbdantrngkham dantrngkhamnneriykwathan base khxngswnsung aelacudthiswnsungtdkbthan hruxswnthikhyayxxkma nneriykwa etha foot khxngswnsung khwamyawkhxngswnsungkhuxrayathangrahwangthankbcudyxd swnsungthngsamcatdknthicudediyw eriykcudnnwa cudxxrothesnetxr orthocenter khxngrupsamehliym cudxxrothesnetxrcaxyuinrupsamehliymktxemuxrupsamehliymnnimepnrupsamehliymmumpan cudyxdthngsamaelacudxxrothesnetxrnnxyuinrabbxxrothesntrik orthocentric system cudtdkhxngesnaebngkhrungmum ichhacudsunyklangkhxngwngklmaenbin esnaebngkhrungmum angle bisector khux esntrngthilakphancudyxd sungaebngmumxxkepnkhrunghnung esnaebngkhrungmumthngsamcatdknthicudediyw khux cudsunyklangkhxngwngklmaenbin incircle khxngrupsamehliym wngklmaenbinkhuxwngklmthixyuinrupsamehliym aelasmphsdanthngsam mixiksamwngklmthisakhykhux wngklmaenbnxk excircle khuxwngklmthixyunxkrupsamehliymaelasmphskbdanhnungdanaelaswnthikhyayxxkmathngsxng cudsunyklangkhxngwngklmaenbinaelawngklmaenbnxkxyuinrabbxxrothesntrik esnthrxyd epnsunythwng esnmthythan median khxngrupsamehliym khux esntrngthilakphancudyxdaelacudkungklangkhxngdantrngkham sungcaaebngrupsamehliymxxkepnphunthithiethakn esnmthythanthngsamcatdknthicudediyw khux esnthrxyd centroid khxngrupsamehliym cudnicaepnsunythwng center of gravity khxngrupsamehliymdwy thamiimthiepnrupsamehliym khunsamarththaihmnsmdulidthiesnthrxydkhxngmnhruxesnidthilakphanesnthrxyd esnthrxydcaaebngesnmthythandwyxtraswn 2 1 nnkhuxrayathangrahwangcudyxdkbesnthrxyd caepnsxngethakhxngrayathangrahwangesnthrxydkbcudkungklangkhxngdantrngkham wngklmekacud aesdngkhwamsmmatrthicudhkcudxyubnwngklmediywkn cudkungklangkhxngdanthngsam aelaethakhxngswnsungthngsam caxyubnwngklmediywkn khux wngklmekacud nine point circle khxngrupsamehliym xiksamcudthiehluxkhuxcudkungklangrahwangcudyxdkbcudxxrothesnetxr sungepnswnhnungkhxngswnsung rsmikhxngwngklmekacudcaepnkhrunghnungkhxngrsmiwngklmlxm mncasmphswngklmaenbin thicud Feuerbach aelasmphswngklmaenbnxk esnxxyelxr khuxesnthilakphan esnthrxyd siehluxng cudxxrothesnetxr sinaengin sunyklangwnglxm siekhiyw aelacudsunyklangkhxngwngklmekacud siaedng esnthrxyd siehluxng cudxxrothesnetxr sinaengin sunyklangwnglxm siekhiyw aelacudsunyklangkhxngwngklmekacud cudsiaedng thnghmdcaxyubnesnediywkn thieriykwa esnxxyelxr Euler s line esnsiaedng cudsunyklangkhxngwngklmekacudcaxyukungklangrahwangcudxxrothesnetxrkbsunyklangwnglxm rayathangrahwangesnthrxydkbsunyklangwnglxmcaepnkhrunghnungkhxngrayathangrahwangesnthrxydkbcudxxrothesnetxr cudsunyklangkhxngwngklmaenbinodythwipcaimxyubnesnxxyelxr phaphsathxnkhxngesnmthythanthiesnaebngkhrungmumkhxngcudyxdediywkn eriykwa symmedian symmedianthngsamcatdknthicudediyw khux cud symmedian symmedian point khxngrupsamehliymkarhaphunthikhxngrupsamehliym phunthikhxngrupsamehliym samarthaesdngidepnkhrunghnungkhxngphunthikhxngrupsiehliymdankhnan sungmikhwamyawthankbkhwamsungthiethakn karkhanwnphunthikhxngrupsamehliymepnpyhaphunthanthimkcaphbinsthankarnthiaetktangkn sutrthingayaelaepnthiruckmakthisudkhux S 1 2 b h displaystyle S frac 1 2 bh emux S hmaythungphunthi b khuxkhwamyawkhxngthan aela h khuxkhwamsunghruxswnsungkhxngrupsamehliym khawathaninthinisamarthhmaythungdanindanhnungkhxngrupsamehliym aelaswnsungkhuxrayathiwdcakmumthixyutrngkhamdannntngchakipyngthan thungaemwasutrnicangay aetkichpraoychnidechphaaemuxsamarthhakhwamsungkhxngrupsamehliymidodyngay twxyangechnkarrngwdthidinthimilksnaepnrupsamehliym cawdkhwamyawkhxngdanthngsamaelwsamarthkhanwnhaphunthiidodyimtxngwdswnsungepntn withikarthihlakhlaythukichinthangptibti khunxyukbwaeraruxairekiywkbrupsamehliymbang withitxipniepnsutrhaphunthikhxngrupsamehliymthiichknbxy 4 ichewketxr phunthikhxngrupsiehliymdankhnansamarthkhanwniddwyewketxr kahndih AB aela AC epnewketxrthichicak A ip B aela A ip C tamladb phunthikhxngrupsiehliymdankhnan ABCD khux A B A C displaystyle AB times AC sungepnkhnadkhxngphlkhunikhwrahwangewketxr AB kb AC aela A B A C displaystyle AB times AC mikhaethakb h A C displaystyle h times AC emux h aethnswnsungthiepnewketxr phunthikhxngrupsamehliym ABC epnkhrunghnungkhxngphunthikhxngrupsiehliymdankhnanrupni hrux S 1 2 A B A C displaystyle S frac 1 2 AB times AC phunthikhxngrupsamehliym ABC kyngsamarthekhiyniddwyrupaebbkhxngphlkhuncuddngni 1 2 A B A B A C A C A B A C 2 1 2 A B 2 A C 2 A B A C 2 displaystyle frac 1 2 sqrt mathbf AB cdot mathbf AB mathbf AC cdot mathbf AC mathbf AB cdot mathbf AC 2 frac 1 2 sqrt mathbf AB 2 mathbf AC 2 mathbf AB cdot mathbf AC 2 ichtrioknmitihaswnsung h ichtrioknmiti swnsungkhxngrupsamehliymhaiddwytrioknmiti cakrupthangsay swnsungcaethakb h a sin g naipaethninsutr S bh thiidcakkhangtn phunthikhxngrupsamehliymcungaesdngidepn S 1 2 a b sin g 1 2 b c sin a 1 2 c a sin b displaystyle S frac 1 2 ab sin gamma frac 1 2 bc sin alpha frac 1 2 ca sin beta nxkcaknn emux sin a sin p a sin b g aelaepnechnniehmuxnknkbxiksxngmumthiehlux caidsutr S 1 2 a b sin a b 1 2 b c sin b g 1 2 c a sin g a displaystyle S frac 1 2 ab sin alpha beta frac 1 2 bc sin beta gamma frac 1 2 ca sin gamma alpha ichphikd thacudyxd A xyuthicudkaenid 0 0 inrabbphikdkharthiesiyn aelakahndihphikdkhxngxiksxngcudyxdxyuthi B x B y B C x C y C displaystyle B x B y B C x C y C aelwphunthi S cakhanwnidcak ethakhxngkhasmburnkhxngdiethxrmiaennt S 1 2 det x B x C y B y C 1 2 x B y C x C y B displaystyle S frac 1 2 left det begin pmatrix x B amp x C y B amp y C end pmatrix right frac 1 2 x B y C x C y B sahrbcudyxdsamcudid smkarkhux 121 12 74258 4561 754120 54851 S 1 2 det x A x B x C y A y B y C 1 1 1 1 2 x A y C x A y B x B y A x B y C x C y B x C y A displaystyle S frac 1 2 left det begin pmatrix x A amp x B amp x C y A amp y B amp y C 1 amp 1 amp 1 end pmatrix right frac 1 2 big x A y C x A y B x B y A x B y C x C y B x C y A big S 1 2 x C x A y B y A x B x A y C y A displaystyle S frac 1 2 big x C x A y B y A x B x A y C y A big insammiti phunthikhxngrupsamehliym A x A y A z A B x B y B z B C x C y C z C displaystyle A x A y A z A B x B y B z B C x C y C z C khuxphlbwkphithaokrskhxngphunthikhxngrupsamehliymthichayipbnranabphunthan x 0 y 0 z 0 displaystyle x 0 y 0 z 0 S 1 2 det x A x B x C y A y B y C 1 1 1 2 det y A y B y C z A z B z C 1 1 1 2 det z A z B z C x A x B x C 1 1 1 2 displaystyle S frac 1 2 sqrt left det begin pmatrix x A amp x B amp x C y A amp y B amp y C 1 amp 1 amp 1 end pmatrix right 2 left det begin pmatrix y A amp y B amp y C z A amp z B amp z C 1 amp 1 amp 1 end pmatrix right 2 left det begin pmatrix z A amp z B amp z C x A amp x B amp x C 1 amp 1 amp 1 end pmatrix right 2 ichsutrkhxngehrxn xikwithithiichkhanwn S idkhuxichsutrkhxngehrxn S s s a s b s c displaystyle S sqrt s s a s b s c emux s a b c 2 displaystyle s a b c 2 khuxkhrunghnungkhxngesnrxbrupkhxngrupsamehliym nxkcaknikmisutrxunthiethiybekhiyngkbsutrkhxngehrxn S 1 4 a 2 b 2 c 2 2 2 a 4 b 4 c 4 displaystyle S frac 1 4 sqrt a 2 b 2 c 2 2 2 a 4 b 4 c 4 S 1 4 2 a 2 b 2 a 2 c 2 b 2 c 2 a 4 b 4 c 4 displaystyle S frac 1 4 sqrt 2 a 2 b 2 a 2 c 2 b 2 c 2 a 4 b 4 c 4 S 1 4 a b c a b c a b c a b c displaystyle S frac 1 4 sqrt a b c a b c a b c a b c karkhanwndanaelamumodythwipaelw miwithikarthiidrbkaryxmrbhlakhlaywithiephuxkhanwnkhwamyawkhxngdanhruxkhnadkhxngmum inkhnathiwithikarechphaaxyangsamarthichiddikbkhatang khxngrupsamehliymmumchak sungwithixunxactxngxyuinsthankarnthisbsxnmakkwa xtraswntrioknmitiinrupsamehliymmumchak rupsamehliymmumchakruphnung dubthkhwamhlkthi fngkchntrioknmiti inrupsamehliymmumchak xtraswntrioknmitikhxngisn okhisn aelaaethnecntsamarthichkhanwnhamumthiimthrabkhnad hruxkhwamyawkhxngdanthiimthrabid dantang khxngrupsamehliymmidngtxipni dantrngkhammumchak khuxdanthixyutrngkhamkbmumchak hruxniyamepndanthiyawthisudkhxngrupsamehliymmumchakkid tamrupkhuxdan h dantrngkhammum khuxdanthixyutrngkhamkbmumthierasnic tamrupkhux a danprachidmum khuxdanthixyutidtxknbnmumchakkbmumthierasnic tamrupkhux bisn okhisn aelaaethnecnt isnkhxngmum khuxxtraswnrahwangkhwamyawkhxngdantrngkhammum txkhwamyawkhxngdantrngkhammumchak sin A opposite hypotenuse a h displaystyle sin A frac textrm opposite textrm hypotenuse frac a h oprdsngektwaxtraswnniimidkhunxyukbrupsamehliymmumchakechphaarupidruphnung aekheramimumthisnic A bnrupsamehliymnnkephiyngphx okhisnkhxngmum khuxxtraswnrahwangkhwamyawkhxngdanprachidmum txkhwamyawkhxngdantrngkhammumchak cos A adjacent hypotenuse b h displaystyle cos A frac textrm adjacent textrm hypotenuse frac b h aethnecntkhxngmum khuxxtraswnrahwangkhwamyawkhxngdantrngkhammum txkhwamyawkhxngdanprachidmum tan A opposite adjacent a b displaystyle tan A frac textrm opposite textrm adjacent frac a b erasamarththxngwa khamchak chidchak khamchid sahrbkarcaxtraswnehlanixyangyx fngkchnphkphn fngkchntrioknmitiphkphnsamarthichkhanwnmumphayinkhxngrupsamehliymmumchak emuxerathrabkhwamyawkhxngdansxngdanid xarkisn ichsahrbkhanwnkhnadkhxngmumthisnic cakkhwamyawkhxngdantrngkhammum kbkhwamyawkhxngdantrngkhammumchak 8 arcsin opposite hypotenuse displaystyle theta arcsin left frac text opposite text hypotenuse right xarkokhisn ichsahrbkhanwnkhnadkhxngmumthisnic cakkhwamyawkhxngdanprachidmum kbkhwamyawkhxngdantrngkhammumchak 8 arccos adjacent hypotenuse displaystyle theta arccos left frac text adjacent text hypotenuse right xarkaethnecnt ichsahrbkhanwnkhnadkhxngmumthisnic cakkhwamyawkhxngdantrngkhammum kbkhwamyawkhxngdanprachidmum 8 arctan opposite adjacent displaystyle theta arctan left frac text opposite text adjacent right kdkhxngisnaelaokhisn rupsamehliymthimidan a b c aelamimum a b g tamladb dubthkhwamhlkthi kdkhxngisn aela kdkhxngokhisn kdkhxngisn law of sine hruxkdisn sine rule 5 rabuiwwaxtraswnkhxngkhwamyawkhxngdan a thismnykbmum a mumtrngkham caethakbxtraswnkhxngkhwamyawkhxngdan b thismnykbmum b dngni a sin a b sin b c sin g displaystyle frac a sin alpha frac b sin beta frac c sin gamma kdkhxngokhisn law of cosine hruxkdokhisn cosine rule epnkarechuxmoyngkhwamsmphnthrahwangdanhnungkhxngrupsamehliymthiimthrabkhwamyaw ipyngdanthiehluxaelamumthixyutrngkham cakrupthangsaymux smmtiwaerathrabkhwamyawkhxngdan a aela b aelathrabkhnadkhxngmumtrngkham g khwamyawkhxngdan c samarthkhanwncaksutrtxipni c 2 a 2 b 2 2 a b cos g b 2 a 2 c 2 2 a c cos b a 2 b 2 c 2 2 b c cos a displaystyle c 2 a 2 b 2 2ab cos gamma implies b 2 a 2 c 2 2ac cos beta implies a 2 b 2 c 2 2bc cos alpha rupsamehliymthiimxyubnranabrupsamehliymthiimxyubnranab hmaythungrupsamehliymthiimidthukwadkhunbnphunphiwthiaebnrab twxyangrupsamehliymthiimxyubnranabechn rupsamehliymbnthrngklminerkhakhnitthrngklm aelarupsamehliymechingihephxroblainerkhakhnitechingihephxrobla sungimidepnswnhnungkhxngerkhakhnitaebbyukhlid inkhnathirupsamehliymthrrmda sxngmiti mumphayinrupsamehliymcarwmknid 180 aetrupsamehliymthiimxyubnranabmumphayinxacrwmknidmakkwahruxnxykwann bnphunphiwthimikhwamokhngepnlb bumlngip cabwkknidnxykwa 180 aelabnphunphiwthimikhwamokhngepnbwk nunkhunma cabwkknidmakkwa 180 nnhmaykhwamwa thaerawadrupsamehliymkhnadihymakbnphunphiwolk mumphayincarwmknidmakkwa 180 xangxing exrik dbebilyu iwssitn Equilateral triangle cakaemthewild exrik dbebilyu iwssitn Isosceles triangle cakaemthewild exrik dbebilyu iwssitn Scalene triangle cakaemthewild exrik dbebilyu iwssitn Triangle area cakaemthewild Prof David E Joyce The Laws of Cosines and Sines Clark University subkhnemux 2008 11 1 Check date values in accessdate help duephimsmphakh congruence cudaefrmat Fermat point ethnesxrkhwamechuxykhxngrupsamehliym inertia tensor of triangle kdkhxngisn kdkhxngokhisn kdkhxngaethnecnt thvsdibthphithaokrs canwnsamehliym triangular number aehlngkhxmulxunkhxmmxns miphaphaelasuxekiywkb rupsamehliymArea of a triangle 7 different ways Animated demonstrations of triangle constructions using compass and straightedge Basic Overview amp Explanation of Triangles Deko Dekov Computer Generated Encyclopedia of Euclidean Geometry Contains a few thousands theorems discovered by a computer about interesting points associated with any triangle Clark Kimberling Encyclopedia of triangle centers Lists some 3200 interesting points associated with any triangle Christian Obrecht Eukleides Software package for creating illustrations of facts about triangles and other theorems in Euclidean geometry Proof that the sum of the angles in a triangle is 180 degrees The Triangles Web by Quim Castellsaguer Triangle Calculator solves for remaining sides and angles when given three sides or angles supports degrees and radians Triangle definition pages with interactive applets that are also useful in a classroom setting Triangles Theorems and Problems Interactive illustrations at Geometry from the Land of the Incas Triangles at Mathworldekhathungcak https th wikipedia org w index php title rupsamehliym amp oldid 8106806 aebngtammumphayin, wikipedia, วิกิ หนังสือ, หนังสือ, ห้องสมุด,

บทความ

, อ่าน, ดาวน์โหลด, ฟรี, ดาวน์โหลดฟรี, mp3, วิดีโอ, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, รูปภาพ, เพลง, เพลง, หนัง, หนังสือ, เกม, เกม